营养问题与灵敏度分析 (LP 对偶值与松弛量)

问题类型	求解器	核心 API	链接
线性规划 (LP)	HiGHS (默认)	m.continuous(), m.constraint(), expr (dot), minimize	在 Playground 中打开 源代码

在求解线性规划模型时，决策变量的最优取值（var.value）往往只是故事的一半。在实际业务决策中，我们通常还需要了解**灵敏度分析（Sensitivity Analysis）**信息：

1. 瓶颈约束（constr.dual — 影子价格 Shadow Price）： 哪些最低营养指标正在推高总成本？该指标每收紧 1 个单位，总成本会增加多少？
2. 约束盈余（constr.slack — 松弛量）： 哪些约束正处于紧绑定状态（Binding），哪些约束还有充足的富余空间（Surplus）？
3. 缩减成本（var.reducedCost — Reduced Cost）： 对于未被选入最优方案的食物（取值为 0），每份至少需要降价多少美元，才值得被纳入最优食谱？

问题输入数据

我们需要在 6 种食物中选择每日摄入份数（$0 \le x_i \le 4$），在满足 4 项每日最低营养需求（热量 Calories >= 2000 kcal、蛋白质 Protein >= 105 g、钙 Calcium >= 1000 mg、铁 Iron >= 18 mg）的前提下使每日饮食总成本最小化：

食物名称	单份成本	热量 (kcal)	蛋白质 (g)	钙 (mg)	铁 (mg)	每日最大份数
Oats（燕麦）	$0.60	150	5	20	1.8	4.0
Chicken（鸡肉）	$2.40	220	32	15	1.2	4.0
Eggs（鸡蛋）	$0.80	140	12	50	1.7	4.0
Milk（牛奶）	$0.90	120	8	280	0.1	4.0
Spinach（菠菜）	$1.50	40	4	120	3.5	4.0
Salmon（三文鱼）	$3.60	200	25	20	0.8	4.0

使用 WaSHI 实现

import { Model, minimize, expr } from "@ohtaman/washi";

const foods = [
  { name: "Oats",    cost: 0.60, calories: 150, protein: 5,  calcium: 20,  iron: 1.8 },
  { name: "Chicken", cost: 2.40, calories: 220, protein: 32, calcium: 15,  iron: 1.2 },
  { name: "Eggs",    cost: 0.80, calories: 140, protein: 12, calcium: 50,  iron: 1.7 },
  { name: "Milk",    cost: 0.90, calories: 120, protein: 8,  calcium: 280, iron: 0.1 },
  { name: "Spinach", cost: 1.50, calories: 40,  protein: 4,  calcium: 120, iron: 3.5 },
  { name: "Salmon",  cost: 3.60, calories: 200, protein: 25, calcium: 20,  iron: 0.8 },
];

async function runDietSensitivity() {
  const m = new Model("DietSensitivity");

  // 每日连续摄入份数（每种食物 0 至最多 4 份）
  const srv = m.continuous(foods.map((f) => f.name), { lb: 0, ub: 4 });

  const costs = Object.fromEntries(foods.map((f) => [f.name, f.cost]));
  const cals  = Object.fromEntries(foods.map((f) => [f.name, f.calories]));
  const prots = Object.fromEntries(foods.map((f) => [f.name, f.protein]));
  const calcs = Object.fromEntries(foods.map((f) => [f.name, f.calcium]));
  const irons = Object.fromEntries(foods.map((f) => [f.name, f.iron]));

  // 目标函数：通过 expr 内的点积（dot）最小化每日饮食总成本
  m.objective(minimize(expr`dot(${costs}, ${srv})`));

  // 营养下限约束：使用 expr 与 constraint() 声明式定义
  const nutConstraints = [
    m.constraint(expr`dot(${cals}, ${srv}) >= 2000`, "min_calories"),
    m.constraint(expr`dot(${prots}, ${srv}) >= 105`,  "min_protein"),
    m.constraint(expr`dot(${calcs}, ${srv}) >= 1000`, "min_calcium"),
    m.constraint(expr`dot(${irons}, ${srv}) >= 18`,   "min_iron"),
  ];

  const status = await m.solve();

  console.log(`Status: ${status}, Minimum Daily Cost: $${m.objectiveValue?.toFixed(2)}`);
  console.log("--- Food Servings & Reduced Costs ---");
  for (const f of foods) {
    const v = srv[f.name];
    console.log(`  ${f.name.padEnd(8)}: value=${v.value?.toFixed(2)}, reducedCost=${v.reducedCost?.toFixed(4)}`);
  }
  console.log("--- Nutritional Constraints (Dual & Slack) ---");
  for (const c of nutConstraints) {
    console.log(`  ${c.name.padEnd(13)}: dual=$${c.dual?.toFixed(4)}, slack=${Math.abs(c.slack ?? 0).toFixed(2)}`);
  }
}

runDietSensitivity();

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结果解读

• 瓶颈约束（slack == 0, dual > 0）： 热量（2000 kcal）和铁（18 mg）紧贴下界，其中铁摄入标准每提高 1 mg，每日最低饮食成本将增加 $0.3241。
• 有盈余的约束（slack > 0, dual == 0）： 蛋白质（超出下限 +46.46 g）和钙（超出下限 +483.02 mg）已自然超额满足，因此它们的影子价格为 $0。
• 处于下界（未选中）变量的缩减成本（Salmon）： 未被选入方案（0.00）的三文鱼（Salmon）缩减成本为 +1.5125，意味着每份三文鱼至少需要降价 $1.51 以上，才会被纳入最优食谱。
• 处于上界变量的负缩减成本（Oats, Eggs）： 燕麦 Oats（reducedCost = -0.2581）和鸡蛋 Eggs（reducedCost = -0.0887）均已达到每日最大份数上限（ub = 4.0）。在最小化 LP 中，紧贴上界变量的负缩减成本表示将该上界 ub 放宽 1 单位所能带来的总成本下降量——将燕麦上限提高 1 份可每天节省 $0.26。
• 最优基稳定区间（局部偏导数）： 影子价格（dual）与缩减成本（reducedCost）反映的是当前最优单纯形基（Optimal Basis）保持不变时的边际变化率。当右端项（RHS）或变量边界变动幅度超过基稳定区间并触发换基时，影子价格将分段跃迁到新的斜率。